Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit dabea812 authored by Carbajal Juan Pablo's avatar Carbajal Juan Pablo
Browse files

update 11 12

parent 09eb3848
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
\aufg \aufg
In welcher Höhe muss ein Satellit auf einer Kreisbahn laufen, wenn er geostationär In welcher Höhe muss ein Satellit auf einer Kreisbahn laufen, wenn er geostationär sein soll?
sein soll?
Erdradius: 6378 km \\ Erdradius: $r_E = \SI{6.378e6}{\meter}$ \newline
Erdmasse: $5.98\cdot 10^{24} \,\un{kg}$ Erdmasse: $M = \SI{5.98e24}{\kilogram}$ \newline
Gravitationskonstante: $G = \SI{6.67e-11}{\meter\cubed\per\kilogram\per\second\squared}$
Hinweis: Setzen Sie für die Gewichtskraft \textbf{nicht} $F_G = mg$, sondern $F_G = G\cdot \frac{Mm}{r^2}$ mit dem Abstand des Satelliten zum Erdmittelpunkt $r$ an.
Lösung: 35800 km Lösung: 35800 km
...@@ -11,34 +13,29 @@ Lösung: 35800 km ...@@ -11,34 +13,29 @@ Lösung: 35800 km
\lsg \lsg
Geostationär bedeutet, dass der Satellit gleiche Umlaufszeit $T$ Geostationär bedeutet, dass der Satellit gleiche Umlaufzeit $T$ wie die Erde hat. Die Umlaufzeit der Erde könnte man berechnen
wie die Erde hat. Die Umlaufszeit der Erde könnte man berechnen
mit: mit:
\[ T =24 \cdot 3600 \mbox{ s} = 86'400 \mbox{ s} \] \[
Genau genommen ist die Umlaufzeit aber kürzer (dies muss durch T =24 \cdot 3600 \mbox{ s} = 86'400 \mbox{ s}
die Schaltjahre kompensiert werden), nämlich nur: \]
\[ T =\frac{365,25}{366,25} \cdot 24 \cdot 3600 = 86164 \hspace{7mm} T = 86'164 \mbox{ s} \]
Die Gravitationskraft befindet sich im Gleichgewicht mit der Zentrifugalkraft, sonst hätten wir keine Kreisbewegung:
Die Gravitationskraft befindet sich im Gleichgewicht mit der \[
Zentrifugalkraft: G \, \frac{m \, M}{r^2} = m \, \omega^2 \, r
\[ G \, \frac{m \, M}{r^2} = m \, \omega^2 \, r \] \]
Setzt man $\omega=\frac{2 \, \pi}{T}$ ein, ergibt sich: Setzt man $\omega=\frac{2 \, \pi}{T}$ ein, ergibt sich:
\[ G \, \frac{m \, M}{r^2} = m \, \frac{4 \, \pi^2}{T^2} \, r \] \[
%\hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} G \, \frac{m \, M}{r^2} = m \, \frac{4 \, \pi^2}{T^2} \, r
\]
Dividiert man durch $m$ und löst nach $r^3$ auf, erhält man: Dividiert man durch $m$ und löst nach $r^3$ auf, erhält man:
\[ r^3 = \frac{G \, M \, T^2}{4 \, \pi^2} \] \[
r^3 = \frac{G \, M \, T^2}{4 \, \pi^2}
Um die Höhe $h$ des Satelliten zu erhalten, müssen wir vom \]
errechneten Radius $r$ noch den Erdradius $r_E$ abzählen, also Um die Höhe $h$ des Satelliten zu erhalten, müssen wir vom errechneten Radius $r$ noch den Erdradius $r_E$ abzählen, also $h = r - r_E$. Somit erhalten wir:
$h = r - r_E$. Somit erhalten wir: \[
\[ \fbox{$\displaystyle h = \sqrt[3]{\frac{G \, M \, T^2}{4 \, \pi^2}} - r_E $} \] h = \sqrt[3]{\frac{G \, M \, T^2}{4 \, \pi^2}} - r_E \approx \SI{3.58e7}{\meter} = 35800 \text{ km}
\[ h = \sqrt[3]{\frac{6,673 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \cdot \]
86164^2}{4 \, \pi^2}} - 6,378 \cdot 10^6 = 4,2180 \cdot 10^7 - 6,378 \cdot
10^6 = \]
\[ \hspace{3.5mm} = 3,5802 \cdot 10^7 \hspace{1cm} \fbox{$\displaystyle h = 35'800 \mbox{ km} $} \]
%\[ \mbox{Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation:} \hspace{3mm} \omega = \frac{366,25}{365,25} \cdot \frac{2 \, \pi}{24 \cdot 3600} =\frac{2 \, \pi}{T} \]
\newpage \fi \newpage \fi
\ No newline at end of file
...@@ -12,50 +12,40 @@ Lösung: $45.7\,\un{1}/\un{min}$; 77.1 \% ...@@ -12,50 +12,40 @@ Lösung: $45.7\,\un{1}/\un{min}$; 77.1 \%
\lsg \lsg
Die Drehimpuls-Erhaltung besagt, dass der Gesamtdrehimpuls vorher, Die Drehimpuls-Erhaltung besagt, dass der Gesamtdrehimpuls vorher, also das Total des Drehimpulses des ersten, stehenden Schwungrads $L_1=0$ und des zweiten laufenden Schwungrads $L_2=J_2 \, \omega_2$, gleich dem Drehimpuls nachher, der zwei gekoppelten Schwungräder $L_{12}=(J_1 + J_2 \, \omega$) ist:
also das Total des Drehimpulses des ersten, stehenden Schwungrads \[
$L_1=0$ und des zweiten laufenden Schwungrads $L_2=J_2 \, \omega_2$, 0 + J_2 \, \omega_2 = (J_1 + J_2) \, \omega \hspace{3mm} \Rightarrow \omega = \frac{J_2}{J_1 + J_2} \, \omega_2
gleich dem Drehimpuls nachher, der zwei gekoppelten Schwungr\"ader \]
$L_{12}=(J_1 + J_2 \, \omega$) ist: Mit dem Trägheitsmoment für einen Vollzylinder $ J = \frac{m \, r^2}{2}$ und $ \nu = \frac{ \omega }{ 2 \pi }$ betraegt die gesuchte Drehzahl $\nu$ der gekoppelten Schwungräder:
\[ 0 + J_2 \, \omega_2 = (J_1 + J_2) \, \omega \hspace{3mm} \Longrightarrow \hspace{3mm} \[
\omega = \frac{J_2}{J_1 + J_2} \, \omega_2 \] Mit dem \nu = \frac{m_2 \, r_2^2}{m_1 \, r_1^2 + m_2 \, r_2^2} \, \nu_2 \approx \SI{0.76}{\per\second} = \SI{45.6}{\per\minute}
Tr\"agheitsmoment f\"ur einen Vollzylinder $ J = \frac{m \, r^2}{2} \]
$ und $ \nu = \frac{ \omega }{ 2 \pi }$ betraegt die gesuchte
Drehzahl $\nu$ der gekoppelten Schwungr\"ader: Über die Kupplung findet ein vollkommen inelastischer 'Stoss' zwischen den 2 Schwungrädern statt, da sie nachher dieselbe Geschwindigkeit haben. Die 'verlorene' mechanische Energie $Q$
berechnet sich als Differenz zwischen der Energie $E_2$ vorher zur Energie $E$ nachher:
\[ \fbox{$\displaystyle \nu = \frac{m_2 \, r_2^2}{m_1 \, r_1^2 + m_2 \, r_2^2} \[
\, \nu_2 $} \hspace{7mm} \nu = \frac{8 \cdot 0,2^2}{12 \cdot 0,3^2 + Q = E_2 - E
8 \cdot 0,2^2} \cdot 200 = 45,71 \hspace{1cm} \fbox{$\displaystyle \]
\nu = 45,7 \mbox{ min}^{-1} $} \] Mit der kinetischen Rotations-Energie des 2. Schwungrades $E_2=\frac{1}{2}\,J\,\omega^2$ und der 'gemeinsamen' kinetischen Rotations-Energie der gekoppelten Schwungräder $\frac{1}{2}(J_1 + J_2) \, \omega^2$ und dem vorher berechneten $\omega = \frac{J_2}{J_1 + J_2} \, \omega_2$ wird die entstandene Wärme $Q$:
\[
\"Uber die Kupplung findet ein vollkommen inelastischer 'Stoos' Q = \frac{J_2 \, \omega_2^2}{2} - \frac{(J_1 + J_2) \, \omega^2}{2}
zwischen den 2 Schwungr\"adern statt, da sie nachher dieselbe \]
Geschwindigkeit haben. Die 'verlorene' mechanische Energie $Q$ \[
berechnet sich als Differenz zwischen der Energie $E_2$ vorher zur = \frac{J_2 \, \omega_2^2}{2} - \frac{J_2^2 \, \omega_2^2}{2 \, (J_1 + J_2)}
Energie $E$ nachher: \]
\[ Q = E_2 - E \] \[
= \frac{J_1 \, J_2 + J_2^2 - J_2^2}{2 \, (J_1 + J_2)} \, \omega_2^2
Mit der kinetischen Rotations-Energie des 2. Schwungrades \]
$E_2=\frac{1}{2}\,J\,\omega^2$ und der 'gemeinsamen' kinetischen \[
Rotations-Energie der gekoppelten Schwungr\"ader $\frac{1}{2}(J_1 + \Rightarrow Q = \frac{J_1 \, J_2}{J_1 + J_2} \, \frac{\omega_2^2}{2}
J_2) \, \omega^2$ und dem vorher berechneten $\omega = \]
\frac{J_2}{J_1 + J_2} \, \omega_2$ wird die entstandene W\"arme $Q$: Der Bruchteil der umgewandelten Energie $\beta$ berechnet sich als Verhältnis $\frac{Q}{E_{tot}}$ von entstandener Wärme $Q$ zu anfänglicher Total-Energie $E_{tot}$. Die anfängliche Energie $E_{tot}$ ist die Rotations-Energie vom 2. Schwungrad, also $E_2=\frac{1}{2}\,J\,\omega^2$, somit ist das Verhältnis $\beta$:
\[ Q = \frac{J_2 \, \omega_2^2}{2} - \frac{(J_1 + J_2) \, \omega^2}{2} = \[
\frac{J_2 \, \omega_2^2}{2} - \frac{J_2^2 \, \omega_2^2}{2 \, (J_1 + \beta = \frac{Q}{E_2} = \frac{2 \, Q}{J_2 \, \omega_2^2}
J_2)} = \frac{J_1 \, J_2 + J_2^2 - J_2^2}{2 \, (J_1 + J_2)} \, \]
\omega_2^2 = \frac{J_1 \, J_2}{J_1 + J_2} \, \frac{\omega_2^2}{2} \]
Der Bruchteil der umgewandelten Energie $\beta$ berechnet sich als
Verh\"altnis $\frac{Q}{E_{tot}}$ von entstandener W\"arme $Q$ zu
anf\"anglicher Total-Energie $E_{tot}$. Die anf\"angliche Energie
$E_{tot}$ ist die Rotations-Energie vom 2. Schwungrad, also
$E_2=\frac{1}{2}\,J\,\omega^2$, somit ist das Verh\"altnis $\beta$:
\[ \beta = \frac{Q}{E_2} = \frac{2 \, Q}{J_2 \, \omega_2^2} \]
Das vorher berechnete $Q$ eingesetzt ergibt: Das vorher berechnete $Q$ eingesetzt ergibt:
\[ \fbox{$\displaystyle \beta = \frac{J_1}{J_1 + J_2} = \frac{m_1 \, r_1^2} \[
{m_1 \, r_1^2 + m_2 \, r_2^2} $} \hspace{1cm} \beta = \frac{12 \cdot \beta = \frac{J_1}{J_1 + J_2} = \frac{m_1 \, r_1^2} {m_1 \, r_1^2 + m_2 \, r_2^2} \approx 77,1 \%
0,3^2}{12 \cdot 0,3^2 + 8 \cdot 0,2^2} = 0,7714 \hspace{1cm} \]
\fbox{$\displaystyle \beta = 77,1 \% $} \]
\newpage \fi \newpage \fi
\ No newline at end of file
0% Loading or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Please register or to comment