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PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Luftwiderstand-40.tex

+\aufg 
+Eine Holzplatte der Masse $m=\SI{2.5}{\kilogram}$ wird aus einer Höhe $h$ von 30 m fallengelassen. Die Platte hat eine Dicke $d$ von 5 mm und eine Dichte $\rho$ von $\SI{500}{\kilogram\per\meter\cubed}$. Während des Fallens sei die Platte quer zur Fallrichtung orientiert, so dass sich ein maximaler Luftwiderstand ergibt. Der Luftwiderstand führt zu einer Kraft entgegen der Fallrichtung, die sich folgendermassen bestimmen lässt:
+\[
+	F_D = c_W \cdot \frac{\rho_{Luft}}{2}\cdot v^2 \cdot A
+\]
+Dabei ist $A$ die Fläche der Platte, die quer zur Fallrichtung orientiert ist und $c_W$ ein dimensionsloser, experimentell zu bestimmender Wert, der die Stärke des Luftwiderstands bestimmt. Er soll im Folgenden mit $c_W = 1.1$ angenommen werden. Die Luftdichte beträgt $\rho_{Luft} = \SI{1.2}{\kilogram\per\meter\cubed}$.
+
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item Bestimmen Sie die quer zur Srömung liegende Plattenfläche $A$.
+\item Welche Kräfte wirken auf die Platte?
+\item Welche Formel gilt für die Beschleunigung der Platte?
+\item Welche Geschwindigkeit erreicht die Platte? Diskutieren Sie den Unterschied zum freien Fall.
+\item Formulieren Sie einen Algorithmus zur Bestimmung der Geschwindigkeit $v$ im expliziten Euler-Verfahren.
+\end{enumerate}
+Lösung:
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item $A=\SI{1}{\meter\squared}$.
+\item Gewichtskraft und Luftwiderstand. Es gilt :${F_Res} = F_G - F_D=m\cdot a$.
+\item $a= \frac{c_W}{m}\frac{\rho_{Luft}}{2}\ v^2  A-g$.
+\item $v_{end} = \SI{6.1}{\meter\per\second}$
+\item $v_{n+1} = v_n+\Delta t \cdot a(t) \Rightarrow  v_{n+1} = v_n+\Delta t \cdot \left(\frac{c_W}{m}\frac{\rho_{Luft}}{2}\ v_n^2  A-g\right)$
+\end{enumerate}
+
+\ifx\nosolution\undefined
+\lsg
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item Zunächst wird das Volumen der Platte $V$ aus der Masse $m$ und der Dichte $\rho$ bestimmt, dann daraus die Fläche $A$. Das Volumen beträgt:
+\[
+	V = \frac{m}{\rho} = \frac{\SI{2.5}{\kilogram}}{\SI{500}{\kilogram\per\meter\cubed}} = \SI{5e-3}{\meter\cubed}
+\]
+Die Fläche $A$ erhält man durch Division des Volumens $V$ durch die Dicke $d$:
+\[
+	A = \frac{V}{d} = \SI{1}{\meter\squared}
+\]
+\item Es wirken die Gewichtskraft $F_G$ und der Luftwiderstand $F_D$. Die resultierende gesamte Kraft $F_{Res}$ auf die Platte ist die Summe der beiden Kräfte und kann als Masse $m$ mal Beschleunigung $a$ geschrieben werden. Zu beachten ist, dass der Luftwiderstand entgegen der Gewichtskraft wirkt:
+\[
+	F_{Res} = F_D - F_G = m \cdot a
+\]
+Der Luftwiderstand wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit, ist also zu Beginn der Fallbewegung gleich null. Dann wächst der Luftwiderstand an, bis er so gross ist wie die Gewichtskraft. Dann heben sich beide Kräfte auf, und die Platte erfährt keine weitere Beschleunigung, so dass ihre Fallgeschwindigkeit konstant bleibt. Dies wird z.B. auch beim Fallschirmspringen genutzt.
+\item Setzt man die Formeln für Gewichtskraft und Luftwiderstand ein, kann nach der gesuchten Beschleunigung $a$ umgestellt werden:
+\[
+	c_W \cdot \frac{\rho_{Luft}}{2}\cdot v^2 \cdot A - m g = m a\Rightarrow
+\]
+\[
+	a= \left(\frac{c_W}{m}\frac{\rho_{Luft}}{2}\ v^2  A-g\right)
+\]
+\item Durch Umstellen der Formel für die Beschleunigung lässt sich die Geschwindigkeit ermitteln. Dabei muss man beachten, dass die Beschleunigung selbst zu null wird, so dass sich eine stationäre Endgeschwindigkeit einstellt:
+\[
+	a= \left(\frac{c_W}{m}\frac{\rho_{Luft}}{2}\ v_{end}^2  \cdot A-g\right) = 0 \Rightarrow
+\]
+\[
+	v_{end} = \sqrt{\frac{2 m g}{c_W \rho A}}\approx \SI{6.1}{\meter\per\second}
+\]
+\item Für den Algorithmus zur Bestimmung der Geschwindigkeit wird die wieder zunächst die Beschleunigung als Änderung der Geschwidigkeit formuliert:
+\[
+	\frac{d v(t)}{d t} = a(t) 
+\]
+Hier ist die Beschleunigung im Gegensatz zum freien Fall zeitabhängig. Die Ableitung der Geschwindigkeit wird wieder mit dem Differenzenquotienten diskretisiert:
+\[
+	\frac{d v(t)}{d t} = \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t} = a(t) \Rightarrow
+\]
+\[
+	v_{n+1} = v_n+\Delta t \cdot a(t) \Rightarrow 
+\]
+\[
+	v_{n+1} = v_n+\Delta t \cdot \left(\frac{c_W}{m}\frac{\rho_{Luft}}{2}\ v_n^2  A-g\right)
+\]
+Die Geschwindigkeit im Term der Beschleunigugn $a(t)$ wird hierbei aus dem vorangehenden Zeitschritt genommen (explizites Verfahren). Dieser Algorithmus kann einfach mittels einer Schleife programmiert werden.
+\end{enumerate}
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+\newpage \fi
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PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Radioaktivitaet-10.tex

+\aufg 
+Bei radioaktivem Zerfall gilt für die Änderung der Stoffmenge $N(t)$ zum Zeitpunkt $t$ folgender Zusammenhang:
+\[
+	\frac{d N(t)}{d t} = -\lambda \cdot N(t)
+\]
+Das heisst, die Änderung der Stoffmenge ist (negativ) proportional zur Menge selbst. Die Konstante $\lambda$ beschreibt dabei die Stärke der Änderung.\newline
+Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet:
+\[
+	N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda t}
+\]
+Für ein radioaktives Element ist häufig die Halbwertszeit $T_{1/2}$ von Interesse. Das ist die Zeit, nach deren Ablauf nur noch die Hälfte der Stoffmenge vorhanden ist.
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item Leiten Sie den Zusammenhang zwischen Halbwertszeit $T_{1/2}$ und der Konstanten $\lambda$ her.
+\item Bestimmen Sie die Halbwertszeit für Uran U-235. Nehmen Sie für $\lambda$ den Wert $\lambda = \SI{3.12e-17}{\per\second}$ an.
+\item Geben Sie den Algorithmus zur numerischen Bestimmung der Uranisotope im expliziten Euler-Verfahren an.
+\end{enumerate}
+Lösung:
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.
+\item$T_{1/2} = \SI{2.22e16}{\second}\approx \SI{7.04e8}{a}$.
+\item $N_{n+1} = N_n \cdot (1-\Delta t \cdot \lambda)$.
+\end{enumerate}
+
+\ifx\nosolution\undefined
+\lsg
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach deren Ablauf nur noch die Hälfte der Stoffmenge vorhanden ist, d.h. es gilt:
+\[
+	N(T_{1/2})=\frac{N_0}{2}
+\]
+Andererseits gilt:
+\[
+	N(T_{1/2}) = N_0\cdot e^{-\lambda \cdot T_{1/2}}
+\]
+Damit gilt also:
+\[
+	 e^{-\lambda \cdot T_{1/2}} = \frac{1}{2}
+\]
+Umformen liefert:
+\[
+	-\lambda \cdot T_{1/2} = \ln \left(\frac{1}{2}\right) = \ln(1) - \ln(2)
+\]
+Mit $\ln(1)=0$ folgt dann:
+\[
+	T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}
+\]
+\item Durch Einsetzen des Zahlenwertes für $\lambda$ erhält man:
+\[
+	T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{ \SI{3.12e-17}{\per\second}}\approx \SI{2.22e16}{\second}\approx \SI{7.04e8}{a}
+\]
+\item Die Differentialgleichung für die Stoffmenge $N(t)$
+\[
+	\frac{d N(t)}{d t} = -\lambda \cdot N(t)
+\]
+wird mit dem Differenzenquotienten diskretisiert:
+\[
+	\frac{N_{n+1}-N_n}{\Delta t} = -\lambda \cdot N_n
+\]
+Dabei wird auf der rechten Seite die Stoffmenge aus dem vorangehenden Schritt verwendet (explizites Verfahren). Es ergibt sich nach Umstellung:
+\[
+	N_{n+1} = N_n + \Delta t \cdot (-\lambda \cdot N_n) \Rightarrow
+\]
+\[
+	 N_{n+1}= N_n\cdot(1 - \Delta t \cdot \lambda)
+\]
+\end{enumerate}
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+\newpage \fi
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