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PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Barometrisch-10.tex

+\aufg Die Stadt Luzern befindet sich 436~m über dem Meer. Auf der Spitze des Pilatus sind wir 2128~m ü.\ M. Nehmen wir an, dass der Luftdruck in der Stadt $p = \SI{1.013}{\bar}$ beträgt und die Temperatur $T = \SI{25}{\celsius}$. Die Molmasse von Luft ist $M = \SI{28.96}{\gram\per\mol}$
+
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item Berechne die Dichte der Luft in Luzern an diesem Tag.
+\item Wie hoch ist der Luftdruck auf dem Pilatus, wenn wir konstante Temperatur annehmen. 
+\item Welchen Druck erhalten wir, wenn wir stattdessen mit der barometrischen Höhenformel rechnen?
+\item Wie Dick ist die Atmosphäre? Ab welcher Höhe ist der Luftdruck kleiner als \SI{100}{\pascal}?
+\end{enumerate}
+
+\ifx\nosolution\undefined
+
+\lsg
+
+Den Luftdruck können wir direkt mit dem idealen Gasgesetz berechnen
+$$
+\rho = \frac{M n}{V} = \frac{M p}{R T} \approx \SI{1.184}{\kilogram\per\meter\cubed}.
+$$
+
+Der Höhenunterschied ist $h \approx \SI{1692}{\meter}$. Aus der barometrischen Höhenformel erhalten wir dann 
+$$
+p = p_0 e^{\rho_0 g h/p_00} \approx \SI{0.834}{\bar}.
+$$
+Die gleiche Rechnung mit der internationalen Höhenformel gibt
+$$
+p = p_0 \left( 1 - \frac{Lh}{T} \right)^{gM/RL} \approx \SI{0.831}{\bar}.
+$$
+Wenn wir diese Formel nach $h$ auflösen, erhalten wir 
+$$
+h = \frac{T}{L} + \frac{RT}{g M} \ln\left( p_0 / p \right).
+$$
+Mit $p = \SI{100}{\pascal}$ finden wir 
+$$
+h \approx \SI{106}{\kilo\meter}.
+$$
+Dies ist in etwa die Kármán-Linie. 90\% der Masse der Atmosphäre befindet sich unterhalb \SI{16}{\kilo\meter}.
+
+
+
+
+\newpage \fi
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PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Dimensionen-100.tex

+\aufg
+
+Wir betrachten ein schwingendes System, das aus einer Masse $m$, einer Feder mit der Federkonstante $k$ und einem Öldämpfer besteht. Der Dämpfer kann in guter Näherung als eine Kraft proportional zur Geschwindigkeit modelliert werden. Wenn wir die Position der Masse mit der Koordinate $y(t)$ beschreiben, nimmt die Newton-Gleichung dafür folgende Form an
+$$
+m \ddot{y}(t) = - mg - ky(t) - b \dot{y}(t).
+$$ 
+Zeige, dass man durch eine geschickte Wahl der Einheiten diese Gleichung auch wie folgt schreiben kann
+$$
+\ddot{u}(\tau) + \delta\dot{y}(\tau) + u(\tau) + 1 = 0.
+$$ 
+Wie müssen wir die Einheiten wählen?
+
+\ifx\nosolution\undefined
+
+\lsg
+Wir definieren
+$$
+y(t) = L u(t/T) = L u(\tau) 
+$$
+und erhalten
+$$
+\frac{mL}{T^2} \ddot{u}(\tau) +  \frac{bL}{T} \dot{u}(\tau) +  \frac{k L}{L} u(\tau) + mg = 0.
+$$
+oder
+$$
+\ddot{u}(\tau) +  \frac{bT}{m} \dot{u}(\tau) +  \frac{k T^2}{m} u(\tau) + \frac{g T^2}{L}= 0.
+$$
+Da wir $L$ und $T$ frei wählen können, haben wir viele Möglichkeiten. Eine davon ist
+$$
+T = \sqrt{\frac{m}{k}}
+$$
+und
+$$
+L = g T^2 = \frac{gm}{k}
+$$
+Ferner definieren wir 
+$$
+\delta = \frac{bT}{m} = \frac{b}{\sqrt{k m}}.
+$$
+Somit hat das ganze Problem nur einen dimensionsonlesen Paramter $\delta$: 
+$$
+\ddot{u}(\tau) + \delta\dot{y}(\tau) + u(\tau) + 1 = 0.
+$$ 
+
+
+
+
+\newpage \fi
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PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Erhaltung-40.tex

+\aufg Wir betrachten ein ungedämpftes Pendel mit der Bewegungsgleichung
+$$
+m \ddot{y}(t) = - mg - ky(t).
+$$ 
+Die mechanische Energie des Systems ist gegeben durch
+$$
+E = \frac m 2 \dot{y}(t)^2 + m g y(t) + \frac k 2 y(t)^2. 
+$$
+Zeige, dass diese Energie während der Pendelbewegung konstant ist. 
+
+\ifx\nosolution\undefined
+
+\lsg Durch Ableiten erhalten wir
+$$
+\dot{E} = m \dot{y}(t)\ddot{y}(t) + m g \dot{y}(t) + k y(t)\dot{y}(t) = \left[ m \ddot{y}(t) + m g  + k y(t) \right]\dot{y}(t) = 0. 
+$$
+
+
+
+
+\newpage \fi
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PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Luftwiderstand-40.tex

@@ -15,10 +15,10 @@ Dabei ist $A$ die Fläche der Platte, die quer zur Fallrichtung orientiert ist u
 Lösung:
 \begin{enumerate}[label=\alph*)]
 \item $A=\SI{1}{\meter\squared}$.
-\item Gewichtskraft und Luftwiderstand. Es gilt :${F_Res} = F_G - F_D=m\cdot a$.
-\item $a= \frac{c_W}{m}\frac{\rho_{Luft}}{2}\ v^2  A-g$.
-\item $v_{end} = \SI{6.1}{\meter\per\second}$
-\item $v_{n+1} = v_n+\Delta t \cdot a(t) \Rightarrow  v_{n+1} = v_n+\Delta t \cdot \left(\frac{c_W}{m}\frac{\rho_{Luft}}{2}\ v_n^2  A-g\right)$
+\item Gewichtskraft und Luftwiderstand. Es gilt :$F_{\textit{Res}} = F_G - F_D=m\cdot a$.
+\item $a= \frac{c_W}{m}\frac{\rho_{\textit{Luft}}}{2}\ v^2  A-g$.
+\item $v_{\textit{end}} = \SI{6.1}{\meter\per\second}$
+\item $v_{\textit{n+1}} = v_n+\Delta t \cdot a(t) \Rightarrow  v_{\textit{n+1}} = v_n+\Delta t \cdot \left(\frac{c_W}{m}\frac{\rho_{\textit{Luft}}}{2}\ v_n^2  A-g\right)$
 \end{enumerate}
 
 \ifx\nosolution\undefined

PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Schwingungen-230.tex

+\aufg
+
+Wir betrachten ein schwingendes System, das aus einer Masse $m$, einer Feder mit der Federkonstante $k$ und einem Öldämpfer besteht. Der Dämpfer kann in guter Näherung als eine Kraft proportional zur Geschwindigkeit modelliert werden. Wenn wir die Position der Masse mit der Koordinate $y(t)$ beschreiben, nimmt die Newton-Gleichung dafür folgende Form an
+$$
+m \ddot{y} = - mg - ky - b \dot{y}.
+$$ 
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item Zeige, dass diese Gleichung mit dem Ansatz $y(t) = A e^{-\delta t} \cos(\omega t + \phi_0) + C$ gelöst werden kann. 
+\item Welche der vier unbekannten Konstanten $A$, $\omega$, $\phi_0$ und $C$ können so eindeutig bestimmt werden?
+\item Wie sieht die homogene Lösung aus? Wie lautet die Partikulärlösung?
+\end{enumerate}
+
+Bei $t = 0$ lassen wir die Masse los. Somit haben wir $y(t) = 0$ und $\dot{y}(t)=0$. Es gelten $m = \SI{0.1}{\kg}$, $k = \SI{40}{\newton\per\meter}$, $b = \SI{0.01}{\newton\second\per\meter}$ und $g = \SI{9.81}{\newton\per\kg}$.
+\begin{enumerate}[label=\alph*),start=4]
+\item Mit welcher Frequenz schwingt die Masse?
+\item Wo befindet sich die Masse nach $t = \SI{1.0}{\second}$.
+\item Welche Geschwindigkeit hat die Masse nach $t = \SI{0.5}{\second}$.
+\item Wie lange dauert es, bis die Amplitude der Schwingung kleiner als \SI{0.2}{\centi\meter} ist.
+\end{enumerate}
+
+\ifx\nosolution\undefined
+
+\lsg
+
+Wir berechnen die Ableitungen des Lösungsansatzes und erhalten
+$$
+y(t) = A e^{-\delta t} \cos(\omega t + \phi_0) + C
+$$
+$$
+\dot{y}(t) = - \left[ \delta  \cos(\omega t + \phi_0) - \omega \sin(\omega t + \phi_0) \right]A e^{-\delta t}
+$$
+$$
+\ddot{y}(t) = \left[ \delta^2  \cos(\omega t + \phi_0) + 2 \delta \omega  \sin(\omega t + \phi_0) - \omega^2 \right] A e^{-\delta t}
+$$
+Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhalten wir 
+\begin{multline*}
+m \left[ \delta^2  \cos(\omega t + \phi_0) + 2 \delta \omega  \sin(\omega t + \phi_0) - \omega^2 \cos(\omega t + \phi_0) \right] A e^{-\delta t} \\ - b \left[ \delta  \cos(\omega t + \phi_0) + \omega \sin(\omega t + \phi_0) \right]A e^{-\delta t} +k A e^{-\delta t} \cos(\omega t \phi_0) + k C = mg 
+\end{multline*}
+Da die Gleichung für alle $t$ erfüllt sein muss, erhalten wir drei Gleichungen
+$$
+k C = - mg
+$$
+$$
+m (\delta^2 - \omega^2) - b\delta + k = 0
+$$
+$$
+2 m \delta \omega - b \omega = 0.
+$$
+Daraus folgt
+$$
+C = -\frac{mg}{k}
+$$
+$$
+\delta = \frac{b}{2m}
+$$
+$$
+\omega^2 = \frac k m - \delta^2 = \omega_0^2 - \delta^2.
+$$
+Somit sind $\omega$, $\delta$ und $C$ eindeutig bestimmt. 
+
+Die homogene Lösung ist
+$$
+y_h(t) = A e^{-\delta t} \cos(\omega t + \phi_0)
+$$
+und die Partikulärlösung
+$$
+y_p(t) = C = - \frac {mg}{k}
+$$
+
+Mit den angegebenen Werten erhalten wir
+$$
+C = -\SI{2.45}{\centi\meter}
+$$
+$$
+\omega_0 = \SI{20.0}{\radian\per\second}
+$$
+$$
+\omega = \SI{19.99}{\radian\per\second}
+$$
+$$
+\delta \approx \SI{0.5}{\per\second}
+$$
+
+Aus den Anfangsbedingungen erhalten wir 
+$$
+y(t=0) = A \cos(\phi_0) + C = 0 \Rightarrow A = - C / \cos(\phi_0).
+$$
+$$
+\dot{y}(t=0) = - \left[ \delta  \cos(\phi_0) - \omega \sin(\phi_0) \right]A  = 0 \Rightarrow \tan(\phi_0) = - \delta/\omega
+$$
+Daraus folgt
+$$
+\phi_0 = -\SI{0.025}{\radian}
+$$
+$$
+A \approx \SI{2.45}{\centi\meter}
+$$
+Somit ist die Funktion $y(t)$ eindeutig bestimmt und kann geplotted werden. 
+
+Wir finden
+$$
+y(t = \SI{1.0}{\second}) \approx - \SI{1.8}{\centi\meter} 
+$$
+und
+$$
+\dot{y}(t = \SI{0.5}{\second}) \approx \SI{0.207}{\meter\per\second}.
+$$
+Für die Dämpfung haben wir 
+$$
+A e^{-\delta t} = \SI{0.2}{\centi\meter} \Rightarrow t \approx \SI{5.0}{\second}
+$$
+
+\newpage \fi
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PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-SchwingungenPython-10.tex

+\aufg
+Ein Körper der Masse $m=\SI{2.5}{\kilogram}$ wird an einer Feder aufgehängt und anschliessend aus einer Höhe $h$ von 30 m fallengelassen. Die Stärke der Feder wird durch ihre Federkraft $F_F$, diese wiederum durch ihre Federkonstante $k$ bestimmt. Es gilt:
+\[
+	F_F = -k \cdot (y-y_F)
+\]
+Dabei beschreibt $y_F$ die Koordinate der Masse bei entspannter Feder. Befindet sich die Masse also bei $y=y_F$, ergibt sich keine resultierende Federkraft auf die Masse, da diese entspannt ist. Wird die Koordinate $y$ der Masse grösser als  $y_F$, ergibt sich eine negative Federkraft, die Masse wird also gegen die y-Richtung gezogen. Wird die Koordinate $y$ der Masse kleiner als  $y_F$, ergibt sich analog eine positive Federkraft, die Masse wird also entlang der y-Richtung geschoben.\newline
+Für die hier verwendete Federkonstante soll $k = \SI{20}{\newton\per\meter}$ gelten. Gehen Sie davon aus, dass die Feder im Augenblick des Loslassens entspannt ist. Es gilt also:
+\[
+	y(t=0)=y_0=y_F
+\]
+\[
+	v(t=0)=v_0=0
+\]
+
+
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item Stellen Sie die Kräftebilanz für diese Anordnung \textit{ohne} Luftwiderstand und andere Verluste auf. Verwenden Sie dabei die folgende Notation für die Beschleunigung und die Geschwindigkeit, sofern diese in Ihrer Bilanz vorkommen.
+\[
+	v = \dot{y}
+\]
+\[
+	a = \ddot{y}
+\]
+\item Formulieren Sie daraus anhand des Euler-Verfahrens einen Algorithmus zur Bestimmung der zeitlichen Entwicklung der Koordinate $y=y(t)$.
+\item Durch die Kräftebilanz erhält man also eine Differentialgleichung zweiter Ordnung der Koordinate $y$, deren Lösung eine Sinus- oder Kosinusschwingung ist. Bestimmen Sie aus der Kräftebilanz die Kreisfrequenz der Schwingung$\omega_0$.
+
+\end{enumerate}
+Lösungen:
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item 
+\[
+	F_{\textit{Res}} = F_F + F_G 
+\]
+\[
+	\Rightarrow  m \ddot{y} = -k \cdot (y-y_0) - m g 
+\]
+\[
+	\Rightarrow \ddot{y} + \frac{k}{m}y=  K
+\]
+mit $K = \frac{k}{m}y_0 - g$
+\item 
+\[
+	\frac{y_{\textit{n+1}} - 2y_n + y_{\textit{n-1}}}{\Delta t^2} + \frac{k}{m} y_n = K
+\]
+\[
+	\Rightarrow y_{\textit{n+1}} = 2 y_n - y_{\textit{n-1}} + \Delta t^2 \left( K -\frac{k}{m} y_n\right)
+\]
+oder alternativ (besser):
+\[
+	\vec{u}_{\textit{n+1}} = \vec{u}_n + \Delta t \left(M \vec{u}_n + \vec{b} \right) 
+\]
+mit
+\[
+	\vec{u} = 	\begin{pmatrix}   y \\ \dot{y} \end{pmatrix}
+\]
+\[
+	M = \begin{pmatrix}   0 & 1 \\  -\frac{k}{m} & 0 \end{pmatrix}
+\]
+\[
+	\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ g \end{pmatrix}
+\]
+\item 
+\[
+	\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\approx \SI{2.83}{\per\second}
+\]
+
+\end{enumerate}
+
+
+
+
+\ifx\nosolution\undefined
+
+\lsg 
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item Die resultierende Kraft setzt sich aus der Kraft der Feder $F_F$ und der Gewichtskraft $F_G$ zusammen. Diese resultierende Kraft kann wieder als Produkt von Masse und Beschleunigung geschrieben werden:
+\[
+	F_{\textit{Res}} = F_F + F_G = \ddot{y}  
+\]
+\[
+	\Rightarrow  \ddot{y} = -k \cdot (y-y_0) - m g 
+\]
+\item In dieser erhaltenen Differentialgleichung tritt die zweite Ableitung der Koordinta enach der Zeit $\ddot{y}$ auf. Wir müssen also entweder den Differenzenquotienten, der ja die \textit{erste} Ableitung annähert, doppelt ausführen oder die Differentialgleichung durch ein Gleichungssystem ersetzen, das wiederum nur die erste Ableitung benötigt. Der erste Ansatz führt zu:
+\[
+	\ddot{y} = \frac{d}{dt}\left(\dot{y} \right) \approx \frac{d}{dt}\left(\frac{y_{\textit{n+1}} - y_n}{\Delta t} \right) \approx \frac{y_{\textit{n+1}} - 2y_n + y_{\textit{n-1}}}{\Delta t^2} 
+\]
+Der verbelibende Term mit $y$ in der Differentialgleichung wird wieder mit $y_n$ ersetzt (explizites Euler-Verfahren). Der Rest der Gleichung bleibt unverändert. Es ergibt sich also:
+
+\[
+	y_{\textit{n+1}} = 2 y_n - y_{\textit{n-1}} + \Delta t^2 \left( K -\frac{k}{m} y_n\right)
+\]
+mit $K = \frac{k}{m}y_0 - g$ \newline
+Der Nachteil dieses Ansatzes ist, dass wir zunächst die ersten beiden Werte für $y$, also $y_0$ und $y_1$ bestimmen müssen. Dann kann ein Loop genutzt werden, der bei $n=2$ beginnt. Als Anfangsbedingung stehen aber nur Werte bei $t=0$ zur Verfügung, in der Regel die Koordinate $y_0$ und die Geschwindigkeit $v_0$. Daraus kann über $y_1 = v_0\cdot \Delta t + y_0$ der benötigte Wert bestimmt werden.\newline
+Einen schöneren Ansatz erhält man, wenn man die Differentialgleichung zweiter Ordnung in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung umwandelt, das nur die erste Ableitung benötigt. Dafür wird allerdings eine Matrix-Vektor-Multiplikation benötigt (\textit{Anmerkung: Eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung lässt sich immer in ein n-dimensionales Gleichungssystem erster Ordnung umwandeln}).\newline
+Dazu definiert man einen Vektor $\vec{u}$, der die Koordinate und ihre erste Ableitung enthält:
+\[
+	\vec{u} = 	\begin{pmatrix}   y \\ \dot{y} \end{pmatrix}
+\]
+Durch Aufstellen einer Matrix $M$ und eines von $y$ unabhängigen Vektors $\vec{b}$ kann man die ursprüngliche Differentialgleichung(en) umformulieren:
+\[
+	\dot{\vec{u}} = M \cdot \vec{u} + \vec{b}
+\]
+Mit 
+\[
+	M = \begin{pmatrix}   0 & 1 \\  -\frac{k}{m} & 0 \end{pmatrix}
+\]
+\[
+	\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ g \end{pmatrix}
+\]
+erhält man also die Gleichungen:
+\[
+	\dot{y} = \dot{y}
+\]
+und
+\[
+	\ddot{y} = \frac{k}{m} \cdot y + g
+\]
+Dies ist also genau die Gelichung, die gelöst werden soll. \newline
+Wendet man nun das explizite Euler-Verfahren auf das neu erhaltene Gleichungssystem (in Vektorschreibweise) an, reicht es aus, nur die erste Ableitung zu nutzen, alle höheren Ableitungen befinden sich implizit im Vektor $\vec{u}$. Wir ersetzen also:
+\[
+	\dot{\vec{u}} \approx \frac{\vec{u}_\textit{n+1} - \vec{u}_n}{\Delta t}
+\]
+Es ergibt sich damit:
+\[
+	\vec{u}_{\textit{n+1}} = \vec{u}_n + \Delta t \left(M \vec{u}_n + \vec{b} \right) 
+\]
+Damit kann also das explizite Euler-Verfahren für Differentialgleichungen erster Ordnung genutzt werden, um Differentialgleichungen höherer Ordnung zu lösen. Der Preis dafür ist allerdings eine vektorielle Formulierung mit einer Matrix-Vektor-Multiplikation.
+\item Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Kreisfrequenz $\omega_0$ einer ungedämpften Schwingung direkt aus der aufgestellten Differentialgleichung abgelesen werden kann, ohne die Gleichung lösen zu müssen. Solch eine Differentialgleichung hat folgende Form:
+\[
+	\ddot{y} + A \cdot y = B
+\]
+Es gilt:
+\[
+	\omega_0 = \sqrt{A}
+\]
+In unserem Fall ergibt sich:
+\[
+	\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\approx \SI{2.83}{\per\second}
+\]
+\end{enumerate}
+
+
+\newpage \fi

PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/PhysikInformatik/PhysInfSerie05.tex

@@ -8,12 +8,12 @@
 \begin{document} 
 
 %Serie 01
+\inputfile[Aufgabe-Kinematik-90]
+\inputfile[Aufgabe-Schwingungen-230]
+\inputfile[Aufgabe-Dimensionen-100]
+\inputfile[Aufgabe-Erhaltung-40]
 \inputfile[Aufgabe-PhetSimulation-20.tex]
 
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 \end{document}