Auf einer Skaterbahn soll ein Skater (Masse $M =80\textrm{kg}$) eine volle Schleife ("Looping") mit Durchmesser $d =2\textrm{m}$ durchlaufen, ohne herunterzufallen.
Die Anfangshöhe des Skaters ist $h =2.25\textrm{m}$.
\item Was ist die minimale Zentripetalbeschleunigung, die notwendig ist, um mit der Schleife in Kontakt zu bleiben?
\item Was ist die Minimalhöhe, die der Skater am Anfang hochspringen muss, um durch die Schleife zu fahren, ohne herunterzufallen?
\item Wie gross wäre die Normalkraft am höchsten Punkt der Schleife, wenn der Skater am Anfang $0.3\textrm{m}$ hochspringen würde?
\end{enumerate}
Lösung:
Lösung:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item
\item$a_c :=\frac{2 v_L^2}{d}= g$, wo $v_L$ die Geschwindigkeit am höchsten Punkt der Schleife ist.
\item$\Delta h =0.25\textrm{m}$
\item$N \simeq78.5\textrm{N}$
\end{enumerate}
\ifx\nosolution\undefined
\lsg
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item
\item Die minimale Zentripetalbeschleunigung muss mindestens gleich gross wie die Erdebeschleunigung sein, sonst würde sich der Skater auf einer Parabel bewegen.
Die Zentripetalbeschleunigung auf einer Kreisbahn ist $a_c :=\frac{2 v_L^2}{d}$, dann
\[
\frac{2 v_L^2}{d}\geq g,
\]
um mit der Schleife in Kontakt zu bleiben
\item Aus der Energieerhaltung:
\[
M g (h +\Delta h)=\frac{M}{2}v_L^2+ M g d
\]
Wir lösen nach $\Delta h$ auf
\[
\Delta h =\frac{1}{2g}v_L^2+ d - h
\]
Wir ersetzen die minimale Geschwindigkeit am höchsten Punkt der Schleife aus dem vorherigen Ergebnis $v_L^2=\frac{gd}{2}$:
\[
\Delta h =\frac{d}{4}+ d - h =\frac{5}{4} d - h =2.5 m -2.25 m =0.25 m
\]
\item
Die Zentripetalbeschleunigung ist
\[
\frac{2 v_L^2}{d}= g +\frac{N}{M}
\]
wo $N$ die Normalkraft ist, d.h.
\[
M \left(\frac{2 v_L^2}{d}- g\right)= N
\]
Aus der Energieerhaltung lösen wir nach $v_L^2$ auf:
\[
2 g (h - d +\Delta h)= v_L^2
\]
Dieses Ergebnis setzen wir in die vorherige Formel ein und erhalten
