update 11 12

PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Dynamik-20.tex

@@ -14,11 +14,15 @@ der 10-kg-Masse $F_G=m\,g$ wirkt nach unten, somit negativ, die (von
 der Federwaage angezeigte) Federkraft $F$ nach oben, somit positiv.
 Dies sind die einzigen 2 Kräfte welche auf die 10-kg-Masse
 einwirken. Also gilt mit der Bewegungsgleichung $F_{res}=m \, a$:
-\[  F_{res} = F - F_G = m \, a \hspace{3mm} \Longrightarrow \hspace{3mm} F = F_G + m \, a = m \, g + m \, a \]
+\[
+	F_{res} = F - F_G = m \, a
+\]
+\[
+	\Rightarrow F = F_G + m \, a = m \, g + m \, a
+\]
+\[ 
+	\Rightarrow  F = m \, (g + a) \approx \SI{118}{\newton}
+\]
 
-\[ \fbox{$\displaystyle F = m \, (g + a) $} \]
-
-\[ F = 10 \cdot (9,81 + 2) = 118,1 \hspace{1cm} \fbox{$\displaystyle
-F = 118 \mbox{ N} $} \]
 
 \newpage \fi
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PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Dynamik-200.tex

@@ -16,23 +16,22 @@ Impulsänderung:
 %\[ \overline{F} - F_G = \frac{\Delta p}{\Delta t} \hspace{7mm}
 %\Delta p = 2 \, m \, v \hspace{7mm} v = \sqrt{2 \, g \, h} \]
 
-\[ \overline{F} = \frac{\Delta p}{\Delta t} + F_G \]
-
-Mit der End-Geschwindigkeit $v = \sqrt{2 \, g \, h}$ nach dem freien
-Fall beträgt die Impulsänderung:
-\[ \Delta p = 2 \, m \, v = 2 \, m \, \sqrt{2 \, g \, h} \]
+\[
+	\overline{F} = \frac{\Delta p}{\Delta t} + F_G 
+\]
+Mit der End-Geschwindigkeit $v = \sqrt{2 \, g \, h}$ nach dem freien Fall beträgt die Impulsänderung:
+\[
+	\Delta p = 2 m v = 2 m \sqrt{2 g h} 
+\]
 
 Also ist die mittlere Gesamtkraft:
-\[ \overline{F}
-% = \frac{\Delta p}{\Delta t} + F_G
-= \frac{2 \, m \, \sqrt{2 \, g \, h}}{\Delta t} + m \, g \]
-
-$m$ ausgeklammert ergibt für die gesuchte Kraft $F$ :
+\[ 
+	\overline{F} = \frac{2 m \sqrt{2 g h}}{\Delta t} + m g
+\]
+Klammert man $m$ aus, ergibt für die gesuchte Kraft $F$ :
+\[
+	\overline{F} = m \left( \frac{2 \sqrt{2  g  h}}{\Delta t} + g \right)  \approx \SI{8.86e3}{\newton}
+\]
 
-\[ \fbox{$\displaystyle \overline{F} = m \, \left( \frac{2 \,
-\sqrt{2 \, g \, h}}{\Delta t} + g \right) $} \hspace{5mm}
-\overline{F} = 0,1 \cdot \left( \frac{2 \, \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot
-1}} {10^{-4}} + 9,81 \right) = 8,860 \cdot 10^3 \hspace{5mm}
-\fbox{$\displaystyle \overline{F} = 8,86 \cdot 10^3 \mbox{ N} $} \]
 
 \newpage \fi
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PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Dynamik-220.tex

 \aufg
-Ein Auto mit einer Masse von 1200 kg fährt mit 36 km/h von hinten auf ein
-anderes mit 1000 kg Masse, das eine Geschwindigkeit von 28.8 km/h hat. Wie
-gross ist die Geschwindigkeit der ineinander verkeilten Wagen bevor die Bremsen
-wirken? Wieviel Energie wurde für die Verformung der Wagen verbraucht?
+Ein Auto mit einer Masse von 1200 kg fährt mit 36 km/h von hinten auf ein anderes mit 1000 kg Masse, das eine Geschwindigkeit von 28.8 km/h hat. Wie gross ist die Geschwindigkeit der ineinander verkeilten Wagen bevor die Bremsen wirken? Wieviel Energie wurde für die Verformung der Wagen verbraucht?
 
 Lösung: $1.09 \cdot 10^3 \,\un{J}$
 
 \ifx\nosolution\undefined
 
 \lsg
-
-Die Wagen sind nach dem Zusammenstoss ineinander verkeilt, haben
-also danach die gleiche Geschwindigkeit $v$. Da der Impuls (auch bei
-inelastischem Stoss) eine Erhaltungsgrösse ist, ist der
-Total-Impuls vorher $m_1 \, v_1 + m_2 \, v_2$ gleich dem Impuls
-nachher $(m_1  + m_2) \, v$:
-\[ m_1 \, v_1 + m_2 \, v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v \]
-
-Folglich ist die gemeinsame Geschwindigkeit $v$ nach dem
-Zusammenstoss:
-\[ \fbox{$\displaystyle v = \frac{m_1 \, v_1 + m_2 \, v_2}{m_1 + m_2} $} \hspace{7mm} v = \frac{1200 \cdot 10 + 1000 \cdot 8}{1200 + 1000} = 9,091 \hspace{1cm}
-\fbox{$\displaystyle v = 9,09 \mbox{ ms}^{-1} = 32,7 \mbox{ km/h} $}
+Die Wagen sind nach dem Zusammenstoss ineinander verkeilt, haben also danach die gleiche Geschwindigkeit $v$. Da der Impuls (auch bei inelastischem Stoss) eine Erhaltungsgrösse ist, ist der Gesamtimpuls vorher $m_1 \, v_1 + m_2 \, v_2$ gleich dem Gesamtimpuls nachher $(m_1  + m_2) \, v$:
+\[
+	m_1 \, v_1 + m_2 \, v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v 
+\]
+Folglich ist die gemeinsame Geschwindigkeit $v$ nach dem Zusammenstoss:
+\[
+	v = \frac{m_1 \, v_1 + m_2 \, v_2}{m_1 + m_2} \approx \SI{9.09}{\meter\per\second} \approx 32.7 \text{ km/h}
 \]
 
-Da der Zusammenstoss hier inelastisch erfolgt, ist die mechanische
-Energie nicht erhalten, ein Teil der kinetischen Energie geht in
-Wärme-Energie $Q$ über:
-\[ E_1 + E_2 = E + Q \] \[Q = E_1 +E_2 - E = \frac{m_1 \, v_1^2}{2} + \frac{m_2 \, v_2^2}{2} - \frac{(m_1 + m_2) \, v^2}{2} \]
-%=  \frac{m_1 \, v_1^2}{2} + \frac{m_2^2 \,
-%v_2^2}{2} - \frac{(m_1 \, v_1 + m_2 \, v_2)^2}{2 \, (m_1 + m_2)} = \]
-
-%\vspace{-3mm}
-%\[ \hspace{4mm} = \frac{m_1^2 \, v_1^2 + m_1 \, m_2 \, v_1^2 + m_2 \, m_1 \,
-%v_2^2 + m_2^2 \, v_2^2 - m_1^2 \, v_1^2 - 2 \, m_1 \, m_2 \, v_1 \, v_2 - m_2^2 \,
-%v_2^2}{2 \, (m_1 + m_2)} = \]
-
-%\vspace{-3mm}
-%\[ \hspace{4mm} = \frac{m_1 \, m_2 \, (v_1^2 - 2 \, v_1 \, v_2 + v_2^2)}
-%{2 \, (m_1 + m_2)} = \frac{m_1 \, m_2 \, (v_1 - v_2)^2}{2 \, (m_1 + m_2)} \]
-
-Wir können $Q$ direkt ausrechnen mit Hilfe des oben berechneten
-Werts für $v$. Alternativ können wir den obigen Ausdruck
-für $v$ in $Q$ einsetzen, was nach entsprechenden Umformen einen
-Ausdruck für $Q$ ergibt, mit dem Vorteil, dass $Q$ jetzt nur
-noch von den (gegebenen) Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$
-abhängt:
-
-\[ \fbox{$\displaystyle Q = \frac{m_1 \, m_2}{m_1 + m_2} \, \frac{(v_1 - v_2)^2}
-{2} $} \hspace{7mm} Q = \frac{1200 \cdot 1000}{1200 + 1000} \cdot
-\frac{(10 - 8)^2}{2} = 1,091 \cdot 10^3 \hspace{5mm}
-\fbox{$\displaystyle Q = 1,09 \cdot 10^3 \mbox{ J} $} \]
-
-Mit Hilfe der Formel für $Q$ in Abhängigkeit von reduzierter
-Masse $\mu = \frac{m_1 \, m_2}{m_1 + m_2}$ und
-Relativgeschwindigkeit $v_R = v_1 - v_2$ lässt sich $Q$ auch
-direkt berechnen:
-\[ \fbox{$\displaystyle Q = \frac{\mu \, v_R^2}{2} $} \]
+Da der Zusammenstoss hier inelastisch erfolgt, ist die mechanische Energie nicht erhalten, ein Teil der kinetischen Energie geht in Wärmeenergie $Q$ über:
+\[
+	E_1 + E_2 = E + Q
+\]
+\[
+	Q = E_1 +E_2 - E = \frac{m_1 \, v_1^2}{2} + \frac{m_2 \, v_2^2}{2} - \frac{(m_1 + m_2) \, v^2}{2} 
+\]
+Wir können $Q$ direkt ausrechnen mit Hilfe des oben berechneten Werts für $v$. Alternativ können wir den obigen Ausdruck für $v$ in $Q$ einsetzen, was nach entsprechenden Umformen einen Ausdruck für $Q$ ergibt, mit dem Vorteil, dass $Q$ jetzt nur noch von den (gegebenen) Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$ abhängt:
+\[
+	Q = \frac{m_1 \, m_2}{m_1 + m_2} \, \frac{(v_1 - v_2)^2} {2} \approx \SI{1.09e3}{\joule} 
+\]
+Mit Hilfe der Formel für $Q$ in Abhängigkeit von reduzierter Masse $\mu = \frac{m_1 \, m_2}{m_1 + m_2}$ und Relativgeschwindigkeit $v_R = v_1 - v_2$ lässt sich $Q$ auch direkt berechnen:
+\[
+	Q = \frac{\mu \, v_R^2}{2}
+\]
 
 \newpage \fi
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PhysikfuerInfaormatik_PhAI/latex/Aufgaben/Aufgabe-Dynamik-340.tex

+\aufg
+In der Nähe von New York wird ein Energiespeicher betrieben, der aus 200 identischen Schwungrädern besteht. Wenn im Stromnetz ein Energieüberschuss besteht, wird diese somit genutzt, um die Schwungräder über entsprechende Elektromotoren in Rotationen zu versetzen. Wenn die Energie benötigt wird, arbeiten die Motoren als Generatoren und die Rotationsenergie der Schwungräder wird wieder in elektrische Energie umgewandelt.
+Ein Schwungrad ist jeweils auf eine maximale Drehzahl von 15000 Umdrehungen pro Minute ausgelegt und hat ein Trägheitsmoment von $J=\SI{73}{\kilogram\meter\squared}$. Die Anlage kann mit einer maximalen Leistung von $P=\SI{1e5}{\watt}$ pro Schwungrad Leistung betrieben werden.
+
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item Wie gross ist die maximale Energie, die gesamthaft in der Anlage zwischengespeichert werden kann?
+\item Wie lange dauert es, die maximale Energie zu speichern, wenn die Anlage mit maximaler Leistung betrieben wird?
+\item Nehmen Sie an, dass die mit maximaler Drehzahl rotierenden Schwungräder aufgrund von Verlusten eine stetige Winkelverzögerung von $\alpha=\SI{-0.01}{\radian\per\second\squared}$ erfahren. Wie lange rotieren die Schwungräder, wenn sie frei auslaufen können?
+\item	Wie gross ist die Verlustleistung pro Schwungrad am Anfang des Auslaufens? Wie ändert sich diese Leistung mit der Zeit?   
+\end{enumerate}
+Lösung:
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item $E_{max}  \approx \SI{18e9}{\joule}$
+\item $\Delta t \approx \SI{900}{\second}$
+\item $t \approx \SI{43.7}{\hour}$
+\item $P \approx \SI{-1147.4}{\watt}$, im Betrag abnehmend.
+\end{enumerate}
+
+
+\ifx\nosolution\undefined
+
+\lsg
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+\item Die gesamte Energie, die gespeichert werden kann, ist die Rotationsenergie bei der maximalen Drehzahl eines Schwungrades multipliziert mit der Anzahl der Räder $n$:
+\[
+	E_{max}=n\cdot\frac{J}{2} \omega_{max}^2
+\]
+Die maximale Winkelgeschwindigkeit $\omega_{max}$ wird aus der maximalen Drehzahl $\nu_{max}$ bestimmt.
+\[
+	\omega_{max}=2 \pi \cdot \nu_{max}=\SI{1571.8}{\radian\per\second}
+\]
+\[
+	\Rightarrow E_{max}=200 \cdot\frac{\SI{73}{\kilogram\meter\squared}}{2}\cdot (\SI{1571.8}{\radian\per\second})^2 \approx \SI{18e9}{\joule}
+\]
+\item Für die Leistung gilt allgemein:
+\[
+	P=\frac{\Delta E}{\Delta t}
+\]
+Damit kann die Zeit aus der Leistung und der Energie bestimmt werden:
+\[
+	\Delta t=\frac{\Delta E}{P}=\frac{E_{max}}{P} \approx \SI{900}{\second} = \SI{15}{\minute}
+\]
+\item
+Für die zeitliche Entwicklung der Winkelgeschwindigkeit gilt allgemein:
+\[
+	\omega (t) = \alpha \cdot t + \omega_0
+\]
+Für die Zeit gilt also:
+\[
+	t = \frac{\omega(t)-\omega_0}{\alpha}
+\]
+Die Winkelgeschwindigkeit am Ende der Betrachtung $\omega(t)$ ist null:
+\[
+	\Rightarrow t = \frac{-\omega_0}{\alpha} \approx \SI{1.57e5}{\second} \approx \SI{43.7}{\hour}
+\]
+\item
+Die Verlustleistung kann aus dem Verlustmoment und der aktuellen Winkelgeschwindigkeit bestimmt werden. Das Verlustmoment wird aus dem Trägheitsmoment und der hier konstanten Winkelverzögerung folgendermassen berechnet:
+\[
+	M = J \cdot \alpha
+\]
+Für die Verlustleistung gilt:
+\[
+	P = P(t) = M \cdot \omega(t)
+\]
+Diese ist zeitabhängig, da die Winkelgeschwindigkeit zeitabhängig ist. Letztere nimmt mit zunehmender Dauer ab, so dass auch die Verlustleistung mit der Zeit abnimmt. Zu Beginn des Bremsvorgangs ist die Verlustleistung also maximal, sie beträgt:
+\[
+	P = J \cdot \alpha \cdot \omega_{max} \approx \SI{-1147.4}{\watt}
+\]
+Diese Leistung ist negativ, weil Energie aus dem System entzogen wird.
+
+\end{enumerate}
+
+\newpage \fi
\ No newline at end of file